melina

در ریاضیات ، هر قاعده‌ای که به هر عنصر از یک مجموعه ، عنصری از مجموعه دیگری را نسبت دهد تابع نامیده می‌شود. بنابراین هر تابع ماشینی است که هر ورودی مجاز یک خروجی منسوب می‌کند. ورودیها دامنه تابع را تشکیل می‌دهند و خروجی‌ها برد آن را.





دید کلی

مقادیر یک کمیت متغیر غالبا به مقادیر کمیت متغیر دیگری بستگی دارد مثلا: فشار در دیگ بخار نیروگاه به دمای بخار بستگی دارد. آهنگ تخلیه آب از وان حمام ، وقتی در پوش وان را بر می‌داریم به ارتفاع آب وان بستگی دارد. مساحت دایره به شعاع بستگی دارد. در هر یک از این مثالها مقادیر یک کمیت متغیر مثل وابسته به مقدار کمیت متغیر دیگری است که می‌توانیم آن را بنامیم و چون در هر مورد مقدار توسط مقدار کاملا معین می‌شود می‌گوئیم تابعی از است.

تعریف

هر تابع از مجموعه‌ای چون به مجموعه‌ای چون ، قاعده‌ای است که به هر عنصر ، تک عنصری از را منسوب می‌کند.

بررسی از روی شکل هندسی

اگر بخواهیم به طور هندسی نموداری را بررسی می‌کنیم، آیا نمودار تابع هست یا نیست. به این ترتیب عمل می‌کنیم که به ازای هر خط موازی محور ها نمودار مورد نظر حداکثر در یک نقطه با خط رسم شده نقطه تلاقی داشته باشد یا به عبارت دیگر نموداری ، شکل تابع است که به ازای های یکسان ، های متفاوت نداشته باشد. مثلا تابع را در نظر می‌گیریم که به ازای های متفاوت () یک دارد ولی نمودار به ازای های یکسان ، های متفاوتی دارد، بنابراین نمی‌تواند تابع باشد.

__________________

melina

ساختمان یک تابع

توابع را از جهات مختلفی می‌توان مورد بررسی قرار دارد، مثلا می‌توان زوج یا فرد بودن ، جبری یا مثلثاتی بودن – متناوب یا نامتناوب بودن ، پیوسته یا ناپیوسته بودن و بسیاری از موارد دیگر که در این مجال نمی‌گنجد وجود دارد که می‌شود راجع به آنها در مورد توابع بحث نمود در این مقاله به تعدادی از این بحثها به اجمال خواهیم پرداخت:

توابع زوج و فرد

• برای شناسایی یک تابع زوج از روی نمودار می‌توان گفت توابع زوج نسبت به محور ها متقارن هستند. و از روی خاصیت جبری می‌شود این گونه توصیف کرد که اگر را یک تابع زوج در نظر بگیریم برای آن به ازای هر که عنصر دامنه باشد: مثل توابع و که برای آنها و .
• برای شناسایی تابع فرد از روی نمودار می‌توان گفت توابع فرد نسبت به که مبدأ مختصات متقارن هستند. در مورد خواص جبری ، برای توابع فرد این خاصیت جبری حاکم است که و یا که در آنها داریم:

• نکته: نمودار معادلاتی که صرفا شامل توانهای زوج باشد و نسبت به محور ها متقارن هستند را توابع زوج می‌گوئیم، اما قاعده متناظری برای توان فرد وجود ندارد.

__________________

melina

توابع متناوب

تابع را متناوب گوییم هرگاه برای هر عضو دامنه آن مقداری ثابت و حقیقی مانند یافت شود؛ به قسمی که اولا عضو آن دامنه و ثانیا باشد. را یک دوره تناوب تابع می‌گوئیم. به سادگی می‌توان دریافت که دوره تناوب یک تابع متناوب منحصر به فرد نیست. برای مثال تابع که تعریف شده است همه با دوره تناوب متناوب است هم با دوره تناوب ، زیرا:





خاصیت هندسی توابع متناوب

با توجه به تساوی نتیجه می‌گیریم که نمودار تابع متناوب در صورت جابجایی به یک بردار انتقال به اندازه در هر جهت تغییر نمی‌کند.

یک به یک و پوشا بودن یک تابع

به طور کلی تابعی چون را یک به یک گوئیم هرگاه به ازای هر عضوی از دامنه فقط و فقط یک عضو منحصر به فرد از برد ، جواب تابع باشد. و اگر بخواهیم از روی شکل تشخیص بدهیم، به ازای هر خط موازی محور ها ، خط زرسم شده نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. مثل نمودار .

تعریف پوشا بودن

تابعی مثل را روی دامنه‌اش پوشا می‌گوئیم هرگاه به ازای هر عضو از دامنه جوابی از برد موجود باشد. و برای تشخیص از روی نمودار ، به ازای هر خط موازی محصور ها ، تابع حداقل در یک نقطه قطع شود. البته دقت می‌کنیم که به ازای دو خط رسم شده باید خاصیت فوق ، برقرار باشد.

تابع قدر مطلق

قدر مطلق عددی مانند ، عدد است. اگر مثبت باشد، قدر مطلق آن همان است ، ولی اگر منفی باشد، قدر مطلق آن است. اگر صفر باشد ، قدر مطلقش صفر است. نماد قدر مطلق به صورت است. اگر دقت کنید تابع قدر مطلق متشکل از خطوط و که به ترتیب برای و انتخاب شده است، یعنی از خط قسمتی که های آن مثبت هستند و از خط قسمتهایی که های آن منفی هستند را انتخاب می‌کند.

__________________

melina

تابع بزرگترین عدد صحیح یا جزء صحیح

بزرگترین عدد صحیحی که نابیشتر از عددی چون باشد، بزرگترین عدد صحیح موجود در نامیده می‌شود نماد آن است. تابعی مثل دارای دامنه و برد اعداد صحیح است. تابع جز صحیح یک تابع پله‌ای است. مدل بسیاری از چیزهایی که در اطراف خود می‌بینیم می‌توانیم به صورت پله‌ای در نظر گرفت، مثلا هزینه پست کردن بسته به صورت تابعی از وزن ، عملکرد چراغ چشمک زن به صورت تابعی از زمان ، تابع پله‌ای دارای نقاط ناپیوستگی هستند، یعنی که در آنها تابع از مقداری به مقدار دیگر می‌جهد بدون اینکه هیچ یک از مقادیر میانی را انتخاب کند.

تابع همانی

تابع همانی تابعی است که به هر عدد همان عدد را نسبت می‌دهد. یکی از کاربردهای تابع همانی ، آزمون توابع معکوس می‌باشد. به این ترتیب که اگر معکوس باشد ترکیب آنها تابع همانی خواهد بود.

توابع مثلثاتی

بسیاری از پدیده‌های طبیعی متناوب هستند؛ به این معنا که بعد از دوره معینی از زمان تکرار می‌شوند. چنین پدیده‌هایی را می‌توان به آسانی با توابع سینوسی و کسینوسی بررسی کرد. اگر توابع با آرایش یافته باشد به این دسته از توابع ، توابع مثلثاتی خواهیم گفت. یکی از خاصیتهای توابع مثلثاتی تناوبی بودن آنهاست؛ زیرا مثلا به ازای هر زاویه داریم:





توابع چند جمله‌ای

جمله‌ای منفرد به صورت را که در آن ثابت دلخواه و عدد صحیح نامنفی است، یک تک جمله‌ای بر حسب می‌نامند. مجموع تعدادی متناهی تک جمله‌ای بر حسب یک چند جمله‌ای نام دارد.

توابع متعالی

امروزه ، تابعی چون را متعالی می‌نامند اگر در معادله به صورت:




که در آن ضرایب: ، و ... و چند جمله‌ایهایی بر حسب هستند ، صدق نکند. تابعی مثل که یکی از جوابهای است ، یکی از توابع موسوم به توابع متعالی است. نام "متعالی" را

[مشاهده فقط برای اعضا امکان پذیر است . برای ثبت نام اینجا کلیک کنید ...]

برای توصیف اعدادی انتخاب کرد که ریشه یک معادله چند جمله‌ای نیستند. اویلر می‌گوید که این اعداد متعالی از آنهایی هستند که روشهای جبری در موردشان کارساز باشد

__________________

melina

تعریف تابع لگاریتمی طبیعی

تابع لگاریتم طبیعی y=ln x ،




به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این

[مشاهده فقط برای اعضا امکان پذیر است . برای ثبت نام اینجا کلیک کنید ...]

مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 و از طرف راست به خط t=x محدود است. در اواخر قرن شانزدهم ، یک بارون اسکاتلندی بنام جان‌نپر ابزاری بنام لگاریتم ابداع کرد که با تبدیل ضرب به جمع کار محاسبه را ساده می‌کند. که این کار محاسبات اعشاری در نجوم ، دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت. گاه می‌توان مشتق تابعی را که با یک معادله پیچیده داده شده است با گرفتن لگاریتم از دو طرف معادله قبل از عمل مشتق‌گیری سریعتر محاسبه کرد. این فرآیند را مشتق‌گیری لگاریتمی می‌نامیم.

ویژگی‌های y=ln x

1. دامنه: مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت x>0
2. برد: مجموعه تمام اعداد حقیقی ،
3. در هر نقطه از دامنه‌اش تابعی پیوسته و صعودی است.
4. دارای معکوس است.
5. حاصل‌ضرب ، خارج‌قسمت و توان: اگر x,a دو عدد مثبت باشند آنگاه:

__________________

melina

تابع نمایی

معکوس تابع y = ln x را تابع نمایی گوئیم. که موارد استفاده زیادی در ریاضیات دارد.

تعریف

تابع به ازای هر عدد حقیقی x ، تابع را تابع نمایی با پایه e و نمای x می‌نامند. نمادی دیگر برای ، است که "اکسپوتانسیل x" خوانده می‌شود. نمودار را می‌توان با پیداکردن قرینه y=ln x نسبت به خط y=x بدست آورد. نمودار همان نمودار x = ln y است. باید دقت داشته باشیم که چون و y = ln x معکوس یکدیگرند آنگاه به ازای هر x بزرگتر از صفر: تابع در اثر مشتق‌گیری تغییر نمی‌کند؛ این تابع فنا ناپذیر است. این تابع تابعی است صعودی زیرا مشتق آن مثبت است.

ویژگی‌های

1. تابع نمایی معکوس تابع لگاریتم طبیعی y = ln x است.
2. دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
3. بردش تمام اعداد مثبت.
4. مشتقش همواره با خودش برابر است. و توابعی است پیوسته و صعودی از x.

تابع‌های .

اگر α یک عدد مثبت و x هر عدد دلخواهی باشد، تابع را با معادله زیر تعریف می‌کنیم:





ویژگی‌های تابع

اگر a یک عدد حقیقی مثبت باشد و آنگاه تابع دارای ویژگی‌های زیر است:

1. دامنه: مجموعه اعداد حقیقی
2. برد: مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت: y>0
3. مشتق آن عبارت است از
4. پیوسته است (زیرا مشتق‌پذیر است)؛ صعودی است هر گاه a>1. نزولی است هر گاه 0 < a <1 و در هرحالت

__________________

melina

توابع لگاریتمی

در قسمت قبلی اشاره کردیم که لگاریتم طبیعی یکی از توابع لگاریتمی است که معکوس تابع‌نمایی است. پس بقیه کدام‌ها هستند؟ بقیه این توابع معکوس‌های توابع نمایی هستند. این معکوس‌ها در علوم و مهندسی کاربردهای بسیاری دارند.

کاربردهای توابع نمایی و لگاریتمی

در بسیاری از پدیده‌های مربوط به فیزیک ، زیست‌شناسی – محیط زیست و اقتصاد کمیتی چون y در هر زمان مفروض t با آهنگی رشد می‌کند یا زوال می‌یابد که متناسب است با مقدار کمیت موجود. این مطلب به معادله منجر می‌شود که k ثابتی است که هرگاه y افزایش یابد، مثبت و هرگاه کاهش یابد منفی است. یا سودی که بطور پیوسته محاسبه می‌شود. یا محاسبه نیمه‌عمر یک رادیواکتیو - قانون سرمایش

__________________

melina

متعالی بودن و یک توهم ریاضی

در گذشته فهم واقعی یا اثبات متعالی‌بودن یک عدد کار بسیار مشکلی بود. وقتی اثبات گنگ‌بودن یک عدد هم دشوار بود. یکی از سه مساله معروف روزگار باستان ، یعنی مساله "تربیع دایره تنها با ستاره و پرگار" بنظر می‌رسید که با مسأله گنگ‌بودن مربوط باشد. (دو مساله معروف دیگر ، تضعیف مکعب و تثلیث زاویه‌اند) گنگ بودن و e را لامبرت (1728-1777) در اواسط قرن هجدهم اثبات کرد. هر چند اثبات گنگ ‌بودن مسأله تربیع دایره را حل نمی‌کند. اما با اثبات متعالی بودن مساله حل می‌شود.

هرمیت ریاضی‌دان در 1873 ثابت کرد که e متعالی است. در 1882 لیندمان با استفاده از روش هرمیت ثابت کرد که هم متعالی است. و بنابراین تکلیف آخرین نکته این مساله معروف ترسیم هندسی را معین کرد. امروزه هنوز هم عده‌ای مدعی و دچار این توهم‌اند که مساله تربیع دایره را حل کرده‌اند و راه‌حل‌های غلط خود را به بخش دانشگاه‌های سراسر دنیا می‌فرستند.

__________________